[Explications] : Autodesk Robot Structural Analysis : Le calcul Elasto-plastique

    Ce billet vient compléter l’article Village BIM portant sur comment obtenir la convergence d’un calcul non-linéaire dans le logiciel Robot Structural Analysis.

    Une analyse élasto-plastique ou non-linéaire matérielle est un calcul complexe car à la fois elle associe une analyse non-linaire géométrique deuxième ordre avec une analyse matérielle. L’objet de ce document est de présenter les paramètres de l'analyse élasto-plastique et la méthodologie à adopter dans le logiciel Autodesk Robot Structural Analysis. Pour des raisons de pragmatisme, nous développerons l'argumentaire autour d'un exemple simple.

1 – Le principe elasto-plastique du matériau :

    L’analyse élasto-plastique permet de prendre en compte la non-linéarité du matériau. Après le dépassement de la limite élastique du matériau, celui-ci se caractérise par une rigidité différente même après suppression des chargements (déformations de l’état plastique). Prenez l’exemple d’un chewing-gum que vous étirez entre vos doigts. A partir d’une certaine traction, le chewing-gum va subir une déformation importante sans amplification de la sollicitation.

    Si nous considérons une courbe d’équilibre matérielle (Force-Déplacement) d’un barreau d’acier, elle est caractérisée par deux zones :

• Elastique : les déformations sont proportionnelles à la sollicitation. A la suppression de celle-ci, les déformations s’annulent (trajet flèches vertes)
• Plastique : après le dépassement de la limite élastique, les déformations deviennent très importantes suite à une sollicitation minime. A la suppression de celle-ci, les déformations deviennent rémanentes (trajet flèches bleu)

2- Théorie et principes utilisés dans le logiciel Autodesk Robot Structural Analysis:

Vous trouvez ci-dessous quelques principes à prendre en considération lors d’une analyse Elasto-plastique :

• Le calcul non-linéaire matériel fonctionne aussi bien pour les structures planes (portiques 2D, grillage) que pour les structures spatiales
• Seules les contraintes normales des efforts axiaux et les moments de flexion sont pris en compte. Les contraintes tangentes causées par les efforts tranchants et les moments de torsion sont ignorés
• L'analyse élasto-plastique est effectuée uniquement pour les barres de la structure. Elle n'est pas disponible pour les éléments finis surfaciques ou volumétriques
• La section est composée obligatoirement de matériaux homogènes
• Le modèle du matériau est symétrique en compression-traction et élasto-plastique avec écrouissage
• L’analyse peut être effectuée sur de la base de données des sections acier paramétrables définies par l’utilisateur
• L’analyse ne peut être effectuée pour les barres à inertie variable et les barres sur le sol élastique (Winkler)

L'analyse élasto-plastique des barres est effectuée sur plusieurs niveaux :

• éléments
• sections
• matériaux

Voici les détails :

L’élément :

    Les barres sont divisées en éléments de calcul petits (invisible pour l’utilisateur) pour ajouter des degrés de liberté globaux. Pour chaque élément, les calculs d’état des contraintes sont effectués en trois points (pour cela, le logiciel utilise la quadrature de Gauss de troisième degré).

    Le mode de division automatique peut être défini à l’aide de l’option Longueur max de l’élément disponible dans la boîte de dialogue Options de calcul («  Analyse > Types d'analyse > Modèle de la structure »). Elle définit la longueur maximale d'un élément de calcul.

    L’utilisateur peut également définir la valeur du paramètre de division à l’aide de l’option « Division des éléments » dans l’analyse élasto-plastique disponible dans le menu « Outils > Préférences de la tâche > Analyse de la structure > Analyse non linéaire ». Il est possible de définir le nombre fixe de divisions pour toutes les barres ou d’utiliser le mode de division automatique.

La section : La section d’un élément est divisée en zones. Comme l’illustre l’image ci-dessous d’une section en « i » composée de 3 zones sur les semelles et l’âme :

    Dans chaque zone, le logiciel vérifie l’état des contraintes suivant les efforts. A chaque incrément de charge, le logiciel calcule les incréments des déplacements dans les points de division de la barre. Ensuite, à partir des déplacements, le logiciel calcule les déformations dans les points de la section.

    Dans le logiciel, vous allez pouvoir définir le nombre de zone suivant le type de section.

Le matériau : le logiciel prend en compte différentes lois qui régissent le couple force/ déplacement.

Cela s’exprime par différentes lois et notamment :

• élasto-plastique parfait : calcul théorique sur un matériau « parfait »
• élasto-plastique par écrouissage :

    Le mode de déchargement est aussi un élément à prendre en compte dans l’analyse. Il s’agit du comportement du matériaux lorsque l’effort (contrainte) diminue.

Le logiciel prend en compte quatre types de mode de déchargement :

• Elastique : le retour se fait sur le même chemin que le chargement Pour le modèle non linéaire, il s'agit d'une élasticité non linéaire
• Plastique : le retour se fait sur le chemin défini par le module d'élasticité initial ( α = 1)
• Endommagement : le retour se fait sur le chemin dirigé vers le point initial (α = 0)
• Mixte : le retour se fait sur le chemin intermédiaire entre le chemin plastique et d'endommagement défini par le paramètre α ( 0< α < 1)

    Ces paramètres dans le logiciel se trouvent dans la fenêtre de définition des sections :

3- L’exemple pratique:

3.1 Explications et résultats théoriques :

    Il s'agit d'un HEA120 (caractéristiques tirées du catalogue de l'OTUA) sur trois appuis soumise à une charge répartie uniforme q.

Nota : un appuis de type rotule et deux appuis simples (très important).

Ce système est hyperstatique de degré 1, cela veut dire qu'il faut deux rotules plastique pour obtenir la ruine de la structure. Dans l'exemple simple introduit ci-dessus voici les mécanismes de ruine prévisibles :

Remarque : En théorie, pour le deuxième mode de ruine, la deuxième rotule plastique apparaît en même temps au milieu des deux travées. Cela est très « théorique » car lors de la construction, les travées seront légèrement différentes et donc la deuxième rotule plastique apparaîtra dans une seule travée.

    Une analyse élasto-plastique est une analyse incrémentale, c'est à dire que l'on va faire varier le chargement jusqu' à atteindre des événements (rotule plastique, ruine…).

    La valeurs de la charge produisant la rotule plastique peut être calculée suivant la théorie des travaux cinématiques. Le lecteur pourra se reporter à la bibliographie pour plus de précision sur la méthode.

Concernant notre exemple :

• la première rotule plastique est atteinte sous:

• la deuxième rotule plastique est atteinte sous:

                             Soit M_pl = W_pl x f_y = 119,49.10³ x 235 = 28,08 kN.m

                                  d'ou q₁ = 8,99 kN ≈ 9,00 kN

                                   q₂ = q_u = 13,09 kN ≈ 13,10 kN

3.2 Application logiciel :

Afin d'arriver à ce résultat, il faut faire attention à quelques étapes de modélisation que vous trouvez ci-dessous :

Les appuis : Il faut utiliser un appui articulé et deux appuis simples (libre de ce déplacer horizontalement).

Les sections :

Dans la fenêtre de création des sections :

• sélectionnez le HEA120
• activez la case à coche "Analyse élasto-plastique"
• cliquez sur le bouton "Analyse élasto-plastique"
• activez le bouton radio "Elastique plastique idéal"
• mode de déchargement « Elastique »
• cliquez sur le bouton "Valider" puis sur le bouton "Ajouter"

Les charges : Mettez une charge de 20 kN/m répartie sur les deux poutres (négliger le poids propre de la poutre).

L’analyse :

Dans la fenêtre "Option de calcul", sélectionnez le cas de charge et cliquez sur le bouton "Paramètres" :

• activez l'option "P-delta" (automatiquement l'option "Non-linéaire" s'active)
• cliquez sur le bouton "Paramètres" et introduisez les valeurs suivantes :

           o « Méthode incrémentale »

           o « Numero d'incréments de la charge" = 200

           o "Numero d'itérations maximum" = 100

           o "Nombre de réduction de la longueur de l'incrément" = 2

           o "Coefficient de réduction de la longueur de l'incrément" =0,2

           o « Nombre maximal des correction BFGS » = 0

Enfin activez l’option :

           o "Mettre à jour à jour la matrice après chaque itération"

           o "Enregistrer les résultats après chaque incrément"

Le nombre d'éléments le long des poutres :

    Comme nous l’avons vu dans le développement théorique, pour analyser finement la plastification le long de la poutre, le logiciel dispose d'un paramètre de discrétisation qui se trouve dans les préférences de la tâche.

• Ouvriez "Les préférences de la tâche"
• Dans "Analyse de la structure", sous l'option "Analyse non-linéaire", dans la partie "Division des éléments dans l'analyse élasto-plastique", mettez "N"=20

Lancement de l’analyse :

    Une fois le modèle paramétré, cliquez sur le bouton « Calculer ».

    Le processus d’analyse itératif commence à ne plus trouver de convergence au processus 0,7050; appuyez sur la touche "Echap" de votre clavier, le logiciel va continuer le processus en réduisant l'incrément de chargement.

Tracé de la courbe d’équibre :

Le logiciel Autodesk Robot Structural Analysis permet de suivre le processus à posteriori en affichant un courbe d’équilibre.

• Cliquez sur l'option "Diagrammes…" dans le menu déroulant "Résultats / Avancés"
• Dans la fenêtre qui apparaît, cliquez sur le bouton "Ajouter"
• Sélectionnez "Incrément (temps)"

             o cochez "Incrément"

             o cliquez sur le bouton "Ajouter"

• Sélectionnez "Barres-poutres"

             o cochez "My"

             o "Élément" ==> 1

             o "Position" ==> 0,5

             o cochez "Relative"

             o cliquez sur le bouton "Ajouter"

Ensuite faites la même chose avec une position relative à "1,00".

• De retour dans la fenêtre "Analyses avancées", sélectionnez "Incrément" et faites le passer à droite dans "Axe horizontal (X)"
• Concernant les moments, faites les passer à droite dans "Axe vertical (Y)"
• Cliquez sur le bouton "Appliquer"

Vous trouvez ci-dessous les résultats du calcul incrémental du moment en travée (vert) et sur appui central au deux poutres (violet).

C'est deux graphes illustrent parfaitement les différents stades de plastification :

Coefficients de charge de plastification :

Il est possible d’afficher un tableau indiquant l'historique de plastification :

• Cliquez sur l'option "Historique de plastification…" dans le menu déroulant "Résultats / Non linéarité / Plasticité"
• Dans la fenêtre qui apparaît, cliquez sur le bouton "Ajouter"
• Cliquez dans l'onglet "Valeur"

    On en déduit que la première rotule plastique apparaît au coefficient de charge 0,43 soit une plastification de 0,43 x 20 = 8,6 kN/m et une deuxième plastification à 0,655 soit 0,655 x 20= 13,1 kN/m.

Nota : si vous souhaitez plus de chiffres derrière la virgule pour les valeurs des coefficients, rendez-vous dans les « Préférences de la tâche » :

Visualiser le processur du calcul :

    Dans le menu déroulant "Analyse / Note de calcul", sélectionnez "Note de calcul complète".

    A la fin de cette note de calcul, vous trouvez toutes les informations de la méthode incrémentale. Notamment, le coefficient de charge de la première rotule plastique ainsi que le coefficient de charge obtenu lors de la non convergence.

4- Conclusion :

    Si nous comparons les résultats théoriques et les résultats du logiciel, concernant la charge de ruine pour obtenir la deuxième rotule plastique, nous ne constatons aucune différence (soit 13,1 kN/m).

    Concernant le coefficient de charge pour obtenir la première rotule, nous obtenu une légère différence (8,6 kN/m au lieu de 8,99 kN/m soit 4,33%).

    Comme vous avez pu le voir une analyse élasto-plastique, dépend de beaucoup de paramétrages, et bien sur la précision des résultats dépendra de ceux-ci :

• nombre de points dans la section
• nombre de points le long de l'élément
• le type de loi de comportement
• les paramètres de l'analyse incrémentale (notamment la taille de l'incrément de charge)

Encore une fois ce type d’analyse s’adresse à des calculateurs expérimentés et chevronnés.