Alexandre Mihalache
Ce billet vient compléter l’article Village BIM portant sur les conseils d’utilisation des câbles dans le logiciel Robot Structural Analysis.
Définition de la non-linéarité géométrique :
Lorsque les déplacements subis par la structure ne permettent pas de confondre l'état déformé et l'état initial, on doit considérer la prise en compte des grands déplacements. Les équations qui régissent l’équilibre de la structure sont alors fonction de la déformée de celle-ci. Cette condition amène à tenir compte de ce que l'on appelle la non-linéarité géométrique.
J’avais évoqué le fait que l’utilisation des câbles implique la prise en compte de la non-linéarité. Il se trouve que les structures fortement élancées aussi requièrent la prise en compte de la non-linéarité géométrique. Voici quelques exemples :
- Echafaudage tubulaires,
- Structures de serres tunnel,
Nota : Le logiciel Robot Structural Analysis permet de réaliser des analyses non-linéaire matérielles mais je réserve ce sujet pour un autre billet.
1- Déclarer une analyse non-linéaire dans le logiciel :
Par défaut, le logiciel effectue des calculs dans le domaine linéaire (proportionnalité des efforts et des déplacements). Pour déclarer une analyse non-linéaire :
- Cliquez sur le bouton « Types d’analyse de la structure »,
- Sélectionnez le cas de charge,
- Cliquez sur le bouton « Paramètres »,
- La fenêtre suivante vous invite utiliser des méthodes de résolutions non-linéaire incrémentale,
L’équilibre d’une structure est régi par une équation d’équilibre statique (ou quasi statique dans le cas de structures, en conséquence les effets dynamiques sont négligés) où les sollicitations sont contrebalancées par les efforts internes et réactions (pour faire simple).
L’expression complète de cette équation comporte un terme au premier ordre, deuxième ordre, troisième ordre et nième ordre. La prise en compte des deuxième, troisième et nième ordre permet la prise en compte d’effets supplémentaires plus ou moins négligeables suivant la rigidité de la structure. C’est pour cette raison que l’on distingue dans le logiciel :
- La méthode P-delta : prend en compte les effets de second ordre, tels que les variations de rigidité en flexion en fonction des efforts axiaux (influence de l’état de contraintes) et l'influence de la déformation de la structure sur l'état d'équilibre final. Elle prend également en compte la génération de moments dus aux efforts axiaux dans les nœuds déplacés horizontalement.
- La méthode « des grands déplacements importants » : prend en compte les effets de second et de troisième ordre, tels que la rigidité latérale supplémentaire due à la déformation (ou rotation) et l'influence de la flexion en cas d'élongation de l'élément. Cet effet prend en compte la génération des forces supplémentaires dans la structure déformée (par exemple, poutre encastrée de deux côtés en flexion, les efforts axiaux apparaissent et la flèche est réduite è effet dit de « câble »).
Dans le cas d’analyse de structures les termes du nième ordre sont négligés.
Nota : l’analyse aux « grands déplacements » (3ème ordre) impose de prendre en compte les éléments du 2ème ordre (méthode P-delta) de l’équation d’équilibre. C’est logique mais autant le préciser.
- Enfin cliquez sur le bouton « Paramètres de l’analyse non-linéaire »,
2 – Emploi d’une méthode de résolution appropriée :
Ci-dessous, je vais vous illustrer les différentes méthodes de résolution incrémentale en utilisant un graphe appelé « courbe d’équilibre » du couple Effort / Déplacement.
a) Méthode incrémentale dite « Contraintes initiales » :
Dans cette méthode, la matrice tangente est calculée une seule fois et appliquée à chaque itération sur la courbe d’équilibre quel que soit le nombre d’incrément de charge.
Cela est illustré par le graphe ci-dessous :
Cette méthode présente l’avantage d’être très rapide (calcul d’une seule matrice tangente) mais la convergence peut être longue et difficile à obtenir.
Dans ce cas de figure, dans le logiciel, il faudra décocher les deux options ci-dessous :
b) Méthode incrémentale dite « Newton-Raphson » modifiée :
Dans cette méthode, la matrice tangente est calculée à chaque incrément de charge une et appliquée à chaque itération sur la courbe d’équilibre quel que soit le nombre (Exemple : 5 incréments de charge, 5 calculs de matrice tangente).
Cela est illustré par le graphe ci-dessous :
Cette méthode limite le nombre de calculs, cependant, la convergence n’est obtenue qu’après un nombre élevé de calculs.
Dans ce cas de figure, dans le logiciel, il faudra cocher la première option et désactiver la deuxième :
Nota : par défaut c’est cette méthode qui est activée.
c) Méthode incrémentale dite « Newton-Raphson complète » :
Dans cette méthode, la matrice tangente est calculée à chaque itération quel que soit le nombre d’incrément de charge.
Cela est illustré par le graphe ci-dessous :
Cette méthode demande des temps de calculs plus importants mais améliore nettement la convergence du processus.
Dans ce cas de figure, dans le logiciel, il faudra cocher les deux options ci-dessous :
d) Le conseil (si je peux en donner un) :
La méthode incrémentale dite « Newton-Raphson complète » est la méthode la plus performante. Elle est donc conseillée dès que la structure présente de fortes non-linéarités (modèle avec des éléments câbles par exemple). Les temps de calcul est très relatif car les ordinateurs d’aujourd’hui permettent de s’affranchir de cette contrainte.
3 – Instabilité numérique :
Cette cause de non-convergence est très facilement détectable puisque l’on observe une non-convergence brutale. Comme le montre la figure ci-dessus, dès le début de la résolution, la valeur du ratio tend immédiatement vers l’infini au lieu de converger vers la valeur de tolérance définie.
Elle est dans la plupart des cas due à une mauvaise modélisation (nombre d’appuis insuffisants, mauvaise définition des précontraintes pour les câbles par exemple, etc).
4 – Surcharge de la structure :
La non-convergence d’un calcul non-linéaire peut aussi intervenir lorsque la structure est surchargée. Cette surcharge amène à des instabilités locales de la structure, et on rejoint là une analyse de type flambement non-linéaire. Dans ce type d’analyse, on peut augmenter le nombre d’incrément afin de mieux définir le niveau de chargement à partir duquel on atteint le seuil de flambement.
5 – Options de résolution mal adaptées :
Il existe aussi un certain nombre de cas où le calcul non-linéaire tend à converger, cependant les options de calcul définis par l’utilisateur ne permettent pas la convergence.
Cela peut être par exemple le cas lorsque la convergence des calculs est lente, alors que le nombre d’itération maximum est insuffisant (solution : augmenter le nombre d’itération).
6– Conseil final :
D’une façon générale, comme nous l’avons vu plus haut, on peut améliorer la convergence des calculs non-linéaires par les modifications suivantes :
- Méthode de Newton-Raphson Complète
- Augmentation du nombre d’incrément de charge
- Augmentation du nombre d’itération maximum
- Réduction de la tolérance (rester dans un domaine de valeur correct – 10 –3 minimum)